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初三數學二次函數知識點歸納 初三數學二元一次方程題篇一

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教學設計學科名稱：人教版九年級數學下冊第二十六章二次函數用函數觀點看一元二次方程

所在班級情況，學生特點分析：

本人擔任八年級(1)、(2)兩班的數學教學，學生共106人，男生50人，女生56人。約有65%的學生對本門課有濃厚學習興趣。

教學內容分析：

本節課選自人教版九年級數學下第二十六章，這節課是在學生學習了二次函數的概念、圖象、性質及其相關應用的基礎上，讓學生繼續探索二次函數與一元二次方程的關系。

教學目標

知識與技能：理解拋物線交x軸的點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根.并能夠利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根。

過程與方法：經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，培養學生的探索能力和創新精神，會用圖象法求一元二次方程的近似根的過程，獲得用圖象法求方程近似根的體驗，并通過觀察二次函數圖象與x軸的交點個數，討論一元二次方程的根的情況，進一步培養學生的數形結合思想。

態度、情感、價值觀：從學生感興趣的問題入手，讓學生親自體會學習數學的價值，從而提高學生學習數學的好奇心和求知欲，并通過學生共同觀察和討論，培養大家的合作交流意識。

重難點關鍵

1.重點：使學生理解二次函數與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯系，能夠運用二次函數及其圖象、性質去解決實際問題是教學的重點。

2.難點關鍵：探索方程與函數之間關系的過程，理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系。

教學過程：

一、引入新課

在現實生活中，我們常常會遇到與二次函數及其圖象有關的問題，如拱橋跨度、拱高計算等，利用二次函數的有關知識研究和解決這些問題，具有很現實的意義。本節課，請同學們共同研究，嘗試解決以下幾個問題。

二、探索問題

問題1：某公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的a處安裝一個噴頭向外噴水。連噴頭在內，柱高為0.8m。水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如圖(1)所示。

根據設計圖紙已知：如圖(2)中所示直角坐標系中，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數關系式是y=-x2+2x+

(1)噴出的水流距水平面的最大高度是多少?

(2)如果不計其他的因素，那么水池至少為多少時，才能使噴出的水流都落在水池內?

教學要點

1.讓學生討論、交流，如何將文學語言轉化為數學語言，得出問題(1)就是求函數

y=-x2+2x+最大值，問題(2)就是求如圖(2)b點的橫坐標;

2.學生解答，教師巡視指導;

3.讓一兩位同學板演，教師講評。

問題2：一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖(3)所示，現測得，當水面寬ab=1.6m時，涵洞頂點與水面的距離為2.4m。這時，離開水面1.5m處，涵洞寬ed是多少?是否會超過1m?

教學要點

1.教師分析：根據已知條件，要求ed的寬，只要求出fd的長度。在如圖(3)的直角坐標系中，即只要求出d點的橫坐標。因為點d在涵洞所成的拋物線上，又由已知條件可得到點d的縱坐標，所以利用拋物線的函數關系式可以進一步算出點d的橫坐標。

2.讓學生完成解答，教師巡視指導。

3.教師分析存在的問題，書寫解答過程。

解：以ab的垂直平分線為y軸，以過點o的`y軸的垂線為x軸，建立直角坐標系。

這時，涵洞的橫截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，開口向下，所以可設它的 函數關系式為：y=ax2 0) (1)

因為ab與y軸相交于c點，所以cb==0.8(m)，又oc=2.4m，所以點b的坐標是(0.8，-2.4)。

因為點b在拋物線上，將它的坐標代人(1)，得 -2.4=a0.82 所以：a=

因此，函數關系式是 y=x2 (2)

因為of=1.5m，設fd=x1m(x10)，則點d坐標為(x1，-1.5)。因為點d的坐標在拋物線上，將它的坐標代人(2)，得 -1.5=x12 x12= x1=

x1=-不符合假設，舍去，所以x1=

ed=2fd=2x1=2= 3.1621.26(m)

所以涵洞ed是m，會超過1m。

問題3：畫出函數y=x2-x-的圖象，根據圖象回答下列問題。

(1)圖象與x軸交點的坐標是什么;

(2)當x取何值時，y=0?這里x的取值與方程x2-x-=0有什么關系?

(3)你能從中得到什么啟發?

教學要點

1.先讓學生回顧函數y=ax2+bx+c圖象的畫法，按列表、描點、連線等步驟畫出函數y=x2-x-的圖象。

2.教師巡視，與學生合作、交流。

3.教師講評，并畫出函數圖象，如圖(4)所示。

4.教師引導學生觀察函數圖象，回答(1)提出的問題，得到圖象與x軸交點的坐標分別是(-，0)和(，0)。

5.讓學生完成(2)的解答。教師巡視指導并講評。

6.對于問題(3)，教師組織學生分組討論、交流，各組選派代表發表意見，全班交流，達成共識：從形的方面看，函數y=x2-x-的圖象與x軸交點的橫坐標，即為方程x2-x-=0的解;從數的方面看，當二次函數y=x2-x-的函數值為0時，相應的自變量的值即為方程x2-x-=0的解。更一般地，函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標即為方程ax2+bx+c=0的解;當二次函數y=ax2+bx+c的函數值為0時，相應的自變量的值即為方程ax2+bx+c=0的解，這一結論反映了二次函數與一元二次方程的關系。

三、試一試

根據問題3的圖象回答下列問題。

(1)當x取何值時，y0?當x取何值時，y0?

(當-

(2)能否用含有x的不等式來描述(1)中的問題? (能用含有x的不等式采描述(1)中的問題，即x2-x-0的解集是什么?x2-x-0的解集是什么?)

想一想：二次函數與一元二次不等式有什么關系?

讓學生類比二次函數與一元二次不等式方程的關系，討論、交流，達成共識：

(1)從形的方面看，二次函數y=ax2+bx+c在x軸上方的圖象上的點的橫坐標，即為一元二次不等式ax2+bx+c在x軸下方的圖象上的點的橫坐標.即為一元二次不等式ax2+bx+c0的解。

(2)從數的方面看，當二次函數y=ax2+bx+c的函數值大于0時，相應的自變量的值即為一元二次不等式ax2+bx+c當二次函數y=ax2+bx+c的函數值小于0時，相應的自變量的值即為一元二次不等式ax2+bc+c0的解。這一結論反映了二次函數與一元二次不等式的關系。

四、課堂練習： p23練習1、2。

五、小結：

1.通過本節課的學習，你有什么收獲?有什么困惑?

2.若二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸無交點，試說明，元二次方程ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c0、ax2+bx+c0的解的情況。

六、作業：

自問自答：設計思路與過程

在教學過程中，教師作為引導者，為學生創設問題情境、提供問題串、給學生提供廣闊的思考空間、活動空間、為學生搭建自主學習的平臺;學生則在老師的指導下經歷操作、實踐、思考、交流、合作的過程，其知識的形成和能力的培養相伴而行，創造海闊憑魚躍，天高任鳥飛的課堂境界。

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